Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale

Introduction to Quantum Mechanics

Ciclo di seminari nell'ambito del Dottorato di Ricerca in Meccanica Teorica e Applicata a cura del prof. Carlo Massimo Casciola

5, 12, 19 e 26 febbraio 2025
dalle ore 14:30 alle ore 16:30
Aula didattica, palazzina E - DIMA

5, 12, 19 e 26 marzo 2025
dalle ore 14:30 alle ore 16:30
Sala multimediale - area Meccanica Applicata

Programma di massima:

• Richiami e complementi di Meccanica Classica: Formalismo Lagrangiano e Azione, Formalismo Hamiltoniano e parentesi di Poisson, l’Equazione di Hamilton-Jacobi.
• L’esperimento di Stern-Gerlach: Dipolo magnetico in un campo magnetico non uniforme. Definizione di momento magnetico, Forza di Lorenz e momento. La traiettoria classica. Le osservazioni sperimentali con l’atomo di argento. Quantizzazione del momento magnetico e introduzione allo spin. Prime definizioni dello stato di un sistema quantistico e introduzione del concetto di operatore associato a una grandezza fisica.
• Lo spazio degli stati di un sistema quantistico. La notazione di Dirac, ket e bra. Operatori sullo spazio dei ket, autostati, autovalori e loro significato fisico. Grandezze fisiche e operatori Hermitiani autoaggiunti. Ampiezza d’onda e probabilità. Relazioni di ortogonalità. Operatori commutativi e sistemi completi di numeri quantici. Operatori con spettro discreto e continuo. Rappresentazione di uno stato in basi diverse di autostati.
• L’operatore posizione e l’operatore quantità di moto. Stati stazionari e l’operatore Hamiltoniano. Invarianza a traslazione e l’operatore quantità di moto. Considerazioni qualitative sulle definizioni degli operatori Hamiltoniano e quantità di moto. L’equazione di Schrödinger. L’equazione di Hamilton-Jacobi come limite classico.
• Autostati e autovalori della quantità di moto nella rappresentazione delle posizioni. Lunghezza d’onda di De Broglie. Cambiamento di base posizione-quantità di moto e trasformata di Fourier. Il commutatore posizione-quantità di moto. Relazioni di indeterminazione per grandezze rappresentate da operatori non commutativi. Il principio di indeterminazione di Heisenberg.
• Il commutatore posizione-quantità di moto e il parallelismo tra operatore differenziale e operatore quantità di moto. Il commutatore come elemento essenziale di una teoria quantistica. Il commutatore con l’Hamiltoniano e le grandezze conservate. Corrispondenza con la meccanica classica.- La descrizione di Schrödinger e quella di Heisenberg. L’equazione di evoluzione di un operatore nella descrizione di Heisenberg. L’equazione di evoluzione per gli operatori posizione e quantità di moto. Corrispondenza con le equazioni di Hamilton per la meccanica classica. La visione di Dirac come premessa al lavoro di Feynman. Alla ricerca di una formulazione Lagrangiana per la meccanica quantistica.
• Gli integrali di cammino di Feynman come rappresentazione integrale della soluzione dell’equazione di Schrödinger. Fase stazionaria e traiettoria classica. L’esperimento della doppia fessura: natura particellare o ondulatoria?
• Soluzioni unidimensionali dell’equazione di Schrödinger. Particella in una scatola. La buca di potenziale. La barriera di potenziale e l’effetto tunnel. Scattering e trasmissione. Il microscopio a effetto tunnel. Il modello elementare di Gamow e la radioattività.
• L’oscillatore quantistico e i corrispondenti stati stazionari. Gli operatori a scala e la via algebrica alla soluzione del problema agli autovalori per l’oscillatore. Stati coerenti.
• Catene lineari di oscillatori. I fononi e gli operatori di creazione e annichilazione. Numero di occupazione e spazio di Fock.
• Richiami di elettromagnetismo e le equazioni di Maxwell. Commutatori canonici e la quantizzazione del campo elettromagnetico. Il concetto di fotone. Energia e quantità di moto del fotone.
• Cenni di relatività ristretta. Trasformazioni di Lorenz come rotazioni nello spazio di Minkowsky. Quadrivettori. Il quadrivettore impulso- energia. Meccanica relativistica e la massa del fotone.
• Lo spazio tridimensionale e le rotazioni. Il momento della quantità di moto orbitale e le sue componenti. Relazioni di commutazione e la quantizzazione del momento angolare. Gli autostati della quantità di moto e le armoniche sferiche. Composizione di momenti angolari e le relazioni di Clebsh-Gordan. La strana questione degli autostati con quantità di moto angolare semi-intera.
• Moto in un campo centrale e i corrispondenti stati stazionari. Separazione di variabili nel problema per gli stati stazionari. La soluzione del problema radiale e lo spettro di energia. La componente angolare della soluzione.